Question

【題目】已知函數=

(1)寫出該函數的單調區間;

(2)若函數=-m恰有3個不同零點,求實數m的取值范圍;

(3)若≤n2-2bn+1對所有x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求實數n的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) f(x)的單調遞減區間是(0,1),單調遞增區間是(-∞,0)及(1,+∞) (2) 實數m的取值范圍為 (3) n的取值范圍是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)

【解析】

（1）x≤0的圖象部分可由圖象變換作出；x＞0的部分為拋物線的一部分．
（2）數形結合法：轉化為直線y=m與函數f（x）的圖象有三個交點．
（3）將f（x）≤n2-2bn+1對所有x∈[-1，1]恒成立，轉化為[f（x）]max≤n2-2bn+1即n2-2bn≥0在b∈[-1，1]恒成立，從而建立關于n的不等關系，求出n的取值范圍．

(1)函數f(x)的圖象如圖所示,

則函數f(x)的單調遞減區間是(0,1),單調遞增區間是(-∞,0)及(1,+∞)

(2)作出直線y=m,函數g(x)=f(x)-m恰有3個不同零點等價于直線y=m與函數f(x)的圖象恰有三個不同交點.

根據函數f(x)=的圖象,

且f(0)=1,f(1)=,

∴m∈.

故實數m的取值范圍為

(3)∵f(x)≤n2-2bn+1對所有x∈[-1,1]恒成立,

∴[f(x)]max≤n2-2bn+1,

又[f(x)]max=f(0)=1,

∴n2-2bn+1≥1,即n2-2bn≥0在b∈[-1,1]上恒成立.令h(b)=-2nb+n2,

∴h(b)=-2nb+n2在b∈[-1,1]上恒大于等于0.

∴

即

由①得

解得n≥0或n≤-2.

同理由②得n≤0或n≥2.

∴n∈(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).

故n的取值范圍是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)