Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD= ，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，O是AC與BE的交點，將ABE沿BE折起到A1BE的位置，如圖2． （Ⅰ）證明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）在圖1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，∠BAD= ， ∴BE⊥AC，
即在圖2中，BE⊥OA1 ， BE⊥OC，
則BE⊥平面A1OC；
∵CD∥BE，
∴CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，
由（Ⅰ）知BE⊥OA1 ， BE⊥OC，
∴∠A1OC為二面角A1﹣BE﹣C的平面角，
∴∠A1OC= ，
如圖，建立空間坐標系，
∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED
∴B（ ，0，0），E（﹣ ，0，0），A1（0，0， ），C（0， ，0），
=（﹣ ， ，0）， =（0， ，﹣ ），

設平面A1BC的法向量為 =（x，y，z），平面A1CD的法向量為 =（a，b，c），
則 得 ，令x=1，則y=1，z=1，即 =（1，1，1），
由 得 ，
取 =（0，1，1），
則cos＜ ＞= = = ，
∴平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）根據線面垂直的判定定理即可證明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空間坐標系，利用向量法即可求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的性質的相關知識，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．