Question

【題目】已知雙曲線的焦點到漸進線的距離等于實半軸長，則該雙曲線的離心率為（ ）
A.
B.2
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】當雙曲線的焦點在 軸上時，雙曲線的焦點坐標為 ，雙曲線的漸近線方程為 ，實半軸長為 ，根據點到直線距離的坐標公式得，焦點到漸近線的距離為 ，根據題意知，焦點到漸近線的距離等于實半軸長，即 ，又因為雙曲線滿足 ，所以 ，離心率 ；當雙曲線焦點在 軸上時，雙曲線的焦點坐標為 ，雙曲線的漸近線方程為 ，實半軸長為 ，同理可得： ，所以 ，離心率 .綜上所述，雙曲線離心率 .
故本題正確答案為
分焦點在x軸和y軸兩種情況來討論，當雙曲線的焦點在 x 軸上時，雙曲線的焦點坐標為 ( ± c , 0 ) ，雙曲線的漸近線方程為 a y ± b x = 0 ，實半軸長為 a ，根據點到直線距離的坐標公式得，焦點到漸近線的距離為 ，根據題意知，焦點到漸近線的距離等于實半軸長，即 b = a ，又因為雙曲線滿足 a2 + b2= c2 ， 所以 c =a ，離心率 e = ；當雙曲線焦點在 y 軸上時，雙曲線的焦點坐標為 ( 0 , ± c ) ，雙曲線的漸近線方程為 a x ± b y = 0 ，實半軸長為 b ，同理可得： a = b ，所以 c = 2 a ，離心率 e = 綜上所述，雙曲線離心率e = .
故本題正確答案為