Question

【題目】已知函數 有最大值 ， ，且 是 的導數．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）證明：當 ， 時， ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 的定義域為 ， ．
當 時， ，
在 上為單調遞增函數，無最大值，不合題意，舍去；
當 時，令 ，得 ，
當 時， ，函數 單調遞增；
當 時， ，函數 單調遞減，
,
,
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,
．
， ,
在 上單調遞增．
又 ， 且 ,
．
,
當 時， ， 單調遞增,
要證 ，即 ，只要證 ，即 ．
， ,
所以只要證 ————（*）,
設 （其中 ）,
,
在（0，1）上為增函數,
，故（*）式成立，從而
【解析】（Ⅰ）根據題目中所給的條件的特點，求出函數的導數，通過討論a的范圍，利用導數和函數的單調性的關系求出函數的單調區間；
（Ⅱ）求出函數的導數，根據函數的單調性問題進行等價轉化為函數的最值問題求解即可.主要考查導數的幾何意義、導數及其應用、不等式等基礎知識.
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．