Question

【題目】已知二次函數滿足，且方程有兩個相等的實數根

（1）求函數的解析式;

（2）若是上的奇函數，且時，，求的解析式;

（3）若不等式對一切實數，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝x2+x+1．（2）

（3）．

【解析】

（1）利用及方程有兩個相等的實數根，列得關于，的方程，解出即可；

（2）由是上的奇函數，得到，再利用奇偶性求得時的，寫成分段函數形式即可.

（3）先利用二次函數性質求得函數f（x）的最大值，再利用判別式解得c得范圍．

（1）∵二次函數滿足，

∴4a+2b=0．

又方程有兩個相等的實數根，

即ax2+（b﹣1）x＝0，∴△＝（b﹣1）2＝0．

∴，

∴f（x）＝x2+x+1．

（2）∵是上的奇函數，∴當時，，

又時，，

令，則，∴，∵是上的奇函數，，

綜上，

（3）若不等式對一切實數，恒成立，則

又f（x）＝x2+x+1=，

∴ ，即對一切實數恒成立，

∴，即，解得，

∴．