Question

【題目】斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，側面AA1C1C⊥底面ABC，側面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，AC=3，AB=BC=2，E、F分別是A1C1 ， AB的中點．
（1）求證：EF∥平面BB1C1C；
（2）求證：CE⊥面ABC．
（3）求四棱錐E﹣BCC1B1的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取BC中點M，連結FM，C1M．在△ABC中，

∵F，M分別為BA，BC的中點，

∴FM∥AC，FM= AC．

∵E為A1C1的中點，AC∥A1C1

∴FM∥EC1且FM=EC1，

∴四邊形EFMC1為平行四邊形∴EF∥C1M．

∵C1M平面BB1C1C，EF平面BB1C1C，∴EF∥平面BB1C1C

（2）證明：連接A1C，∵四邊形AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°

∴△A1C1C為等邊三角形

∵E是A1C1的中點．∴CE⊥A1C1

∵四邊形AA1C1C是菱形，∴A1C1∥AC．∴CE⊥AC．

∵側面AA1C1C⊥底面ABC，且交線為AC，CE面AA1C1C

∴CE⊥面ABC

（3）連接B1C，∵四邊形BCC1B1是平行四邊形，所以四棱錐 =

由第（2）小問的證明過程可知 EC⊥面ABC

∵斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，∴面ABC∥面A1B1C1．∴EC⊥面EB1C1

∵在直角△CEC1中CC1=3， ，∴

∴

∴四棱錐 = =2×

【解析】（1）通過作平行線，由線線平行證明線面平行即可；（2）根據面面垂直，只需證明CE垂直于交線即可；（3）根據底面積相等，同高的棱錐體積相等，將四棱錐分割為兩個體積相等的三棱錐，再根據體積公式求三棱錐的體積即可．