Question

【題目】函數g（x）=f（x）+2x，x∈R為奇函數．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0時，f（x）=log3x，求函數g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：任給x∈R，f（x）=g（x）﹣2xf（﹣x）=g（﹣x）+2x…（2分）

因為g（x）為奇函數，所以g（﹣x）=﹣g（x），

所以f（﹣x）=﹣g（x）+2x=﹣f（x），

所以f（x）為奇函數

（2）解：當x＞0時，g（x）=log3x+2x

當x＜0時，﹣x＞0，所以g（﹣x）=log3（﹣x）﹣2x

因為 g（x）為奇函數

所以 g（x）=﹣g（﹣x）=﹣[log3（﹣x）﹣2x]=2x﹣log3（﹣x）

又因為奇函數g（0）=0

所以g（x）=

【解析】（1）函數g（x）=f（x）+2x（x∈R）為奇函數，g（﹣x）=f（﹣x）﹣2x=﹣g（x）=﹣f（x）﹣2x，可得f（﹣x）=﹣f（x），即可判斷函數f（x）的奇偶性；（2）若x＞0時，f（x）=log3x，求出x＜0，x=0時的解析式，即可求函數g（x）的解析式．
【考點精析】認真審題，首先需要了解奇偶性與單調性的綜合(奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性)．