Question

【題目】如圖，在高為的等腰梯形中，，且，，將它沿對稱軸折起，使平面平面，如圖，點為的中點，點在線段上(不同于，兩點)，連接并延長至點，使.

(1)證明：平面；

(2)若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，把證明平面的問題轉化為證明，即可；（2）求出平面的法向量為和平面的一個法向量為，把求二面角的余弦值的問題轉化為求與的夾角的余弦值的問題即可.

(1)證明：由題設知，，兩兩垂直，所以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設的長為，

則，，，

，，).

因為點為的中點，所以，

所以，，.

因為，，

所以，，又與不共線，

所以平面.

(2)解　因為，，所以，

則，所以，.

設平面的法向量為，

由得

令，則，，.

易得平面的一個法向量為.

設二面角的大小為，由圖可知，為銳角，

則，

即二面角的余弦值為.