Question

【題目】若bm為數列{2n}中不超過Am3（m∈N*）的項數，2b2=b1+b5且b3=10，則正整數A的值為 ．

Answer 1

【答案】64或65
【解析】解：依題意： ，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，
設b1=t，即數列{an}中，不超過A的項恰有t項，
∴2t≤A＜2t+1 ，
同理：2t+d≤8A＜2t+d+1 ， 2t+2d≤125A＜2t+2d+1 ，
可得：2t≤A＜2t+1 ， 2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2 ， ，
故max{ }≤A＜min{ }，
由以下關系：2t+d﹣3＜2t+1 ， ，得d＜4，
∵d為正整數，∴d=1，2，3．
當d=1時，max{ }=max{ }=2t ，
min{ }=min{ }= ＜2t ， 不合題意，舍去；
當d=2時，max{ }=max{ }=2t ，
min{ }=min{ }= ＜2t ， 不合題意，舍去；
當d=3時，max{ }=max{ }=2t ，
min{ }=min{ }= ＞2t ， 適合題意．
此時2t≤A＜ ，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．
∵b3=10，∴4≤t≤7，
∵t為整數，∴t=4，t=5，t=6或t=7．
∵f（3）=27A，b3=10，
∴210≤27A＜211 ， ∴ ≤A＜ ．
當t=4時，24≤A＜ ，∴無解．
當t=5時，25≤A＜ ，∴無解．
當t=6時，26≤A＜ ，∴64≤A＜ ．
當t=7時，27≤A＜ ，∴無解．
則26≤A＜ ．
∵A∈N* ， ∴A=64或A=65．
綜上：A=64或65．
所以答案是：64或65．
【考點精析】掌握數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．