Question

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，正數(shù)滿足，證明： .

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）分析單調(diào)性首先確定定義域，然后求導(dǎo)得，再確定分子的符號(hào)即可得出單調(diào)性，此時(shí)二次函數(shù)的對(duì)稱軸未知所以可結(jié)合二次函數(shù)圖形進(jìn)行分析討論；（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增.又易知，且，不妨設(shè)，要證，只需證，只需證，即證，即證.構(gòu)造函數(shù)，.分析函數(shù)單調(diào)性求出最值即可.

詳解：

（1）解：的定義域?yàn)?/span>，

，

令，.

①當(dāng)時(shí)，，

所以對(duì)恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增.

②當(dāng)或時(shí)，，令，得，.

（i）當(dāng)時(shí)，，

所以對(duì)恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（ii）當(dāng)時(shí)，.

若，，函數(shù)單調(diào)遞增；

若，，函數(shù)單調(diào)遞減；

若，，函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

（2）證明：當(dāng)時(shí)，，由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又易知，且，不妨設(shè)，

要證，只需證，

只需證，即證，

即證.

構(gòu)造函數(shù)，.

所以 ，，

.

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則.

所以得證，從而.