Question

【題目】已知圓周上有七個不同的點，以其中任意一點為始點，另一點為終點作向量，作出所有的向量（對于點、，若作出向量，則不再作向量）.若其中某四點所確定的凸四邊形的四條邊是首尾相接的四個向量，則稱其為“零四邊形”.試求以這七個點中四個點為頂點的凸四邊形中，零四邊形個數的最大值

Answer 1

【答案】28

【解析】

設圓周上這七個點分別為，，…，.以點為始點的向量個數為，則，且.

先求在個凸四邊形中“非零四邊形”個數的最小值．

易知非零四邊形只有如下兩類情形：

第一類：有且只有一個頂點是兩邊向量的始點的非零四邊形（如圖）.

第二類：恰有兩個頂點是兩邊向量的始邊的非零四邊形（如圖）.

（1）當整個圖形中含有第二類非零四邊形時，易知在第二類非零四邊形的四個頂點的基礎上，每增加一個點，則此五點形就比原四點形增加四個凸四邊形，且作圖易知這四個凸四邊形均是非零四邊形.

于是，在整個七點圖形中的35個凸四邊形中，若有一個是第二類非零四邊形，則在此非零四邊形的基礎上增加三點，至少要增加12個非零四邊形.由此知，此時圖中至少有13個非零四邊形.

（2）當七點圖中不含第二類非零四邊形，即其中只含有第一類非零四邊形和零四邊形，則問題可轉化為只要求出其中第一類非零四邊形個數的最小值即可.

而第一類非零四邊形的四個頂點中有且只有一個頂點是此非零四邊形的四個邊向量的兩個向量的始點，且這兩個向量夾有一個對角線向量.當這三個向量確定時，則確定一個非零四邊形.從而，當圖中不含第二類非零四邊形時，圖中含第一類非零四邊形的個數

.

因為，所以，有最小值.

若，，…，中有某個的值小于3，則其中必有的值大于或等于4.

而，，，又，則必有.

若，，…，均不小于3，由知，只有，.

下面通過作圖說明的圖形是存在的（如圖）

圖中共有七個非零四邊形.

①，②，

③；④，

⑤，⑥，

⑦.

故的最小值為.

因此，所求的零四邊形個數的最大值為.