Question

（2012•洛陽模擬）選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知PE切⊙O于點E，割線PBA交⊙O于A，B兩點，∠APE的平分線和AE，BE分別交于點C，D．
求證：（1）CE=DE；
（2）

CA

CE

=

PE

PB

．

Answer 1

分析：（1）由弦切角定理是，及PC為∠APE的平分線，可證得∠ECD=∠EDC，進而證得CE=DE
（2）先由AA證明出△PBC∽△ECD，進而證得△PBC∽△PEC，可由相似三角形對應邊成比例得到結論．

解答：解：（1）PE切圓O于點E
∴∠A=∠BEP
∵PC平分∠APE，
∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE
∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE
∴∠ECD=∠EDC，
∴EC=ED
（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD
∴∠PDB=∠PCE
∵∠BPD=∠EPC
∴△PDB∽△PEC
∴

PE

PB

=

PC

PD

同理△PDE∽△PCA
∴

PC

PD

=

CA

DE

∴

PE

PB

=

CA

DE

∵DE=CE
∴

CA

CE

=

PE

PB

點評：本題考查的往右點是與圓相關的比例線段，相似三角形的性質，熟練掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性質是解答的關鍵．