Question

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進行開發建設，陰影部分為一公共設施建設不能開發，且要求用欄柵隔開(欄柵要求在一直線上)，公共設施邊界為曲線f(x)＝1－ax²(a＞0)的一部分，欄柵與矩形區域的邊界交于點M、N，交曲線于點P，設P(t，f(t))．
 
(1)將△OMN(O為坐標原點)的面積S表示成t的函數S(t)；
(2)若在t＝處，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．

Answer 1

（1）S(t)＝（2）a＝，

(1)y′＝－2ax，∴切線斜率是－2at，
∴切線方程為y－(1－at²)＝－2at(x－t)．
令y＝0，得x＝，∴M，令x＝0，得y＝1＋at²，∴N(0，1＋at²)，
∴△OMN的面積S(t)＝.
(2)S′(t)＝，
由a＞0，t＞0，S′(t)＝0，得3at²－1＝0，即t＝.
當3at²－1＞0，即t＞時，S′(t)>0；
當3at²－1<0，即0<t<時，S′(t)<0.
∴當t＝時，S(t)有最小值．
已知在t＝處，S(t)取得最小值，故有＝，
∴a＝.故當a＝，t＝時，S(t)_min＝S＝＝.