Question

已知函數f(x)=(x-a)²(x-b)(a,b∈R,a<b).
(1)當a=1,b=2時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(2)設x₁,x₂是f(x)的兩個極值點,x₃是f(x)的一個零點,且x₃≠x₁,x₃≠x₂.證明:存在實數x₄,使得x₁,x₂,x₃,x₄按某種順序排列后構成等差數列,并求x₄.

Answer 1

（1）y=x-2  （2），證明見解析

(1)解:當a=1,b=2時,f(x)=(x-1)²(x-2),
f′(x)= (x-1)(3x-5),
故f′(2)=1.
又f(2)=0,
所以f(x)在點(2,0)處的切線方程為y=x-2.
(2)證明:由題意得f′(x)=3(x-a)(x-),
由于a<b且a,b∈R,故a<,
所以f(x)的兩個極值點為x=a,x=.
不妨設x₁=a,x₂=,
因為x₃≠x₁,x₃≠x₂,
且x₃是f(x)的零點,
故x₃=b.
又因為-a=2(b-),
x₄=(a+)=,
此時a,,,b依次成等差數列,
所以存在實數x₄滿足題意,且x₄=.