Question

在周長為定值的中，已知，動點的運動軌跡為曲線G,且當動點運動時，有最小值．

（1）以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標系，求曲線G的方程．

（2）過點（m,0）作圓x²＋y²＝1的切線l交曲線G于M，N兩點．將線段MN的長|MN|表示為m的函數，并求|MN|的最大值．

Answer 1

解：（1）設  （）為定值，所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，所以焦距．                                              （2分）

因為

又 ，所以 ，由題意得 ．

所以C點軌跡G 的方程為                           （6分）

（2） ．由題意知，|m|≥1．

當m＝1時，切線l的方程為x＝1，點M，N的坐標分別為，，此時|MN|＝．

當m＝－1時，同理可知|MN|＝．                                     （7分）

當|m|＞1時，設切線l的方程為y＝k（x－m），

由得（1＋4k²）x²－8k²mx＋4k²m²－4＝0．                    （8分）

設M，N兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），

則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

又由l與圓x²＋y²＝1相切，得＝1，即m²k²＝k²＋1，

所以|MN|＝＝

＝ ＝．                     （12分）

由于當m＝±1時，|MN|＝．

所以|MN|＝，m∈（－∞，－1 ]∪[1，＋∞）．

因為|MN|＝＝≤2，且當m＝±時，|MN|＝2．

所以|MN|的最大值為2．                                            （14分）