Question

在周長為定值的△ABC中，已知AB=6，且當頂點C位于定點P時，cosC有最小值為

7

25

．
（Ⅰ）建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程；
（Ⅱ）（理）過點A作直線與（Ⅰ）中的曲線交于M，N兩點，求|BM|•|BN|的最小值的集合．
（文）當點Q在（Ⅰ）中的曲線上運動時，求|PQ|的最大值的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）P點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，2c=AB，由余弦定理可得cosC=

PB2+PA2-62

2PB•PA

=

(PB+PA)2-2PB．PA-36

2PB•PA

=

2a2-18

PB•PA

-1及基本不等式PB．PA≤(

2a

2

)2=a2，可求cosC≥1-

18

a2

，從而可求a，及C點的軌跡方程
（Ⅱ）（理）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂ ），設其方程為y=k（x+3）代入橢圓方程化簡(

1

25

+

k2

16

)x2+

3

8

k2x+(

9k2

16

-1)=0，顯然有△≥0，由橢圓第二定義可得|BM|•|BN|=（5-

3

5

x1）（5-

3

5

x2）及方程的根與系數的關系|BM|•|BN|取最小值，結合橢圓的

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0)得性質判斷M，N是否存在，使得|BM|•|BN|的最小值
（文）由（Ⅰ）知P（0，±4，）不妨取P（0，4），則|PQ|²=x²+（y-4）²=25-

25

16

y2+（y-4）²
=-

9

16

(y+

64

9

)2+41+

256

9

，由-4≤y≤4且y≠0，結合二次函數的性質可求

解答：解：（Ⅰ）以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，設PA+PB=2a（a＞0）為定值，所以P點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，∴焦距2c=AB=6        （1分）
∵cosC=

PB2+PA2-62

2PB•PA

=

(PB+PA)2-2PB．PA-36

2PB•PA

=

2a2-18

PB•PA

-1（2分）
又∵PB．PA≤(

2a

2

)2=a2，cosC≥1-

18

a2

，此時p（0，±4），由題意得1-

18

a2

=

7

25

∴a²=25∴C點的軌跡方程為

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0)（3分）
（注：y≠0沒寫扣（1分）：文科（Ⅰ）分別為2，3，（3分），共8分）
（Ⅱ）（理）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂ ），
當直線MN的傾斜角不為90°時，設其方程為y=k（x+3）代入橢圓方程化簡得(

1

25

+

k2

16

)x2+

3

8

k2x+(

9k2

16

-1)=0，顯然有△≥0
∴x₁+x₂=-

150k2

16+25k2

，x₁．x₂=

225k2-400

16+25k2

而由橢圓第二定義可得|BM|•|BN|=（5-

3

5

x1）（5-

3

5

x2）=25-3（x₁+x₂） +

9

25

x1x2…（2分）
=25+

450k2

16+25k2

+

81k2-144

16+25k2

=25+

531k2-144

16+25k2

只考慮

16 25 + 144 531

k2+ 16 25

的最小值，即考慮1-

16 25 + 144 531

k2+ 16 25

的最小值，易知當k=0時，1-

16 25 + 144 531

k2+ 16 25

的最小值
此時|BM|•|BN|取最小值16（2分）
當直線MN的傾斜角為90°時，x₁=x₂=-3得|BM|•|BN|=（

34

5

）²＞16；（1分）
但

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0)，故這樣的M，N不存在，即|BM|•|BN|的最小值集合為空集（1分）
（文）由（Ⅰ）知P（0，±4，）不妨取P（0，4），
則|PQ|²=x²+（y-4）²=25-

25

16

y2+（y-4）²=-

9

16

(y+

64

9

)2+41+

256

9

，
∵-4≤y≤4且y≠0，
∴當y=-4時，|PQ|取到最大值8 集合為{8} （6分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質及余弦定理求解橢圓的方程，利用函數的性質求解函數的最值問題，要求考試具備一定的邏輯推理與運算的能力