Question

在周長為定值的中，已知，且當頂點位于定點時，有最小值為.(1)建立適當的坐標系，求頂點的軌跡方程.(2)過點作直線與(1)中的曲線交于、兩點，求的最小值的集合.

Answer 1

的最小值的集合為空集.

解析:

(1) 以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，設 |CA|+|CB|=2a(a>3)為定值，所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，所以焦距 2c=|AB|=6.

 因為

又 ，所以 ，由題意得 .

此時，|PA|=|PB|，P點坐標為 P(0，±4).所以C點的軌跡方程為  

(2) 不妨設A點坐標為A(-3，0)，M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).當直線MN的傾斜角不為90⁰時，設其方程為 y=k(x+3) 代入橢圓方程化簡，得

顯然有 △≥0， 所以

而由橢圓第二定義可得

只要考慮 的最小值，即考慮取最小值，顯然.

當k=0時，取最小值16.

當直線MN的傾斜角為90⁰時，x₁=x₂=-3,得

但 ，故，這樣的M、N不存在，即的最小值的集合為空集.