Question

（2012•泰州二模）已知函數(shù)f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x（a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=0處取極值，求a的值；
（2）如圖，設(shè)直線x=-

1

2

，y=-x將坐標(biāo)平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)區(qū)域（不含邊界），若函數(shù)y=f（x）的圖象恰好位于其中一個(gè)區(qū)域內(nèi)，判斷其所在的區(qū)域并求對(duì)應(yīng)的a的取值范圍；
（3）比較3²×4³×5⁴×…×2012²⁰¹¹與2³×3⁴×4⁵×…×2011²⁰¹²的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x得f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1，由f（x）在x=0處取極值，能求出a．
（2）由函數(shù)的定義域?yàn)椋?

1

2

，+∞），且當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-a＜0，又直線y=-x恰好過原點(diǎn)，所以函數(shù)y=f（x）的圖象應(yīng)位于區(qū)域Ⅲ內(nèi)，于是f（x）＜-x，由此能求出a的取值范圍．
（3）由（2）知，函數(shù)m（x）=

ln(2x+1)

2x+1

在x∈（

e-1

2

，+∞）時(shí)單調(diào)遞減，函數(shù)p（x）=

lnx

x

在x∈（e，+∞）時(shí)，單調(diào)遞減，故 （x+1）^x＜x^（x+1），由此能比較3²×4³×5⁴×…×2012²⁰¹¹與2³×3⁴×4⁵×…×2011²⁰¹²的大小．

解答：解：（1）∵f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x，
∴f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1，
∵f（x）在x=0處取極值，
∴f′（0）=-4a+1=0，
∴a=

1

4

，經(jīng)檢驗(yàn)a=

1

4

符合題意，
故a=

1

4

．
（2）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?

1

2

，+∞），且當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-a＜0，
又直線y=-x恰好過原點(diǎn)，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象應(yīng)位于區(qū)域Ⅲ內(nèi)，
于是f（x）＜-x，
即 （2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x＜-x，
∵2x+1＞0，∴a＞

ln(2x+1)

2x+1

，
令h（x）=

ln(2x+1)

2x+1

，∴h′（x）=

2-ln(2x+1)

(2x+1)2

，
令h′（x）=0，得x=

e-1

2

，
∵x＞-

1

2

，∴x∈（-

1

2

，

e-1

2

）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
x∈（

e-1

2

，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
∴m_max（x）=m（

e-1

2

）=

1

e

，
∴a的取值范圍是：a＞

1

e

．
（3）由（2）知，函數(shù)m（x）=

ln(2x+1)

2x+1

在x∈（

e-1

2

，+∞）時(shí)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)p（x）=

lnx

x

在x∈（e，+∞）時(shí)，單調(diào)遞減，
∴

ln(x+1)

x+1

＜

lnx

x

，∴xln（x+1）＜（x+1）lnx，
∴l(xiāng)n（x+1）^x＜lnx^（x+1），即（x+1）^x＜x^（x+1），
∴令x=3，4，…，2011，則4³＜3⁴，5⁴＜4⁵，…，2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．
又3²×4³＜2³×3⁴，
∴3²×4³×5⁴×…×2012²⁰¹¹＜2³×3⁴×4⁵×…×2011²⁰¹²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．