Question

【題目】已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，，

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：；

（3）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由和項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)，注意分類討論：當(dāng)，得，當(dāng)時(shí)，，得數(shù)列遞推關(guān)系式，因式分解可得，根據(jù)等差數(shù)列定義得數(shù)列通項(xiàng)公式（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以利用疊加法求通項(xiàng)公式：，因此，從而利用裂項(xiàng)相消法求和得，即證得（Ⅲ）不等式恒成立問題，一般先變量分離，轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題：由得，而有最大值，所以

試題解析：（1）時(shí)，

是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列

…4分

（2）

， ，即…………………9分

（3）由得， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值， ………………………………14分