Question

【題目】已知四棱錐的底面ABCD是菱形，且，是等邊三角形.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若平面平面ABCD，求二面的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（I）取AB的中點O，連接OP，OD，BD，利用等比三角形的性質得到，利用有一個角是的菱形的幾何性質，證得，由此證得平面，從而證得.

（II）證得，結合，以為原點，建立空間直角坐標系，通過計算平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.

（Ⅰ）證明：取AB的中點O，連接OP，OD，BD

∵是等邊三角形，∴

又∵四邊形ABCD是菱形，

∴是等邊三角形

∴

∵，PO，平面POD

∴平面POD

∵平面POD

∴

（Ⅱ）∵平面平面ABCD，平面平面，∴平面ABCD，∴

以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，

設

平面PAB的一個法向量為，，，

∴，

設平面PBC的一個法向量為，則

令，得，

∴

設二面角的平面角為，為鈍角

∴