Question

已知直線l過雙曲線的左焦點F，且與以實軸為直徑的圓相切，若直線l與雙曲線的一條漸近線恰好平行，則該雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

分析：由題意可得：設直線l的方程為：y=

b

a

(x-c)，則P（

c

2

，-

bc

2a

），因為P恰好在以A₁A₂為直徑的圓上，所以PA₁⊥PA₂，再結合b²=c²-a²可得答案．

解答：解：由題意可得：雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為：y=±

b

a

x，
所以設直線l的方程為：y=

b

a

(x-c)，
則直線l與雙曲線的另一條漸近線的交點為：P（

c

2

，-

bc

2a

），
所以

PA1

=（-a-

c

2

，

bc

2a

），

PA2

=（a-

c

2

，

bc

2a

）．
因為P恰好在以A₁A₂為直徑的圓上，
所以PA₁⊥PA₂，即

PA1

•

PA2

=0，即（-a-

c

2

，

bc

2a

）•（a-

c

2

，

bc

2a

）=0
所以整理可得：b²c²=4a⁴-a²c²
所以結合b²=c²-a²可得：2a²=c²，所以e=

c

a

=

2

，
故答案為：

2

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握雙曲線的標準方程與有關數值之間的關系，以及雙曲線的有關性質．