Question

【題目】如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)．

(1)求證：EF∥平面A1B1BA；

(2)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）30°

【解析】

（1）連接A1B，結(jié)合三角形中位線定理，得到平行，結(jié)合直線與平面平行，的判定定理，即可。（2）取的中點(diǎn)N，連接，利用直線與平面垂直判定定理，得到平面，找出即為所求的角，解三角形，計(jì)算該角 的大小，即可。

解：(1)證明：如圖，連接A1B.在△A1BC中，

因?yàn)?/span>E和F分別是BC和A1C的中點(diǎn)，所以EF∥BA1.

又EF平面A1B1BA，

所以EF∥平面A1B1BA

(2)解：因?yàn)?/span>AB＝AC，E為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.

因?yàn)?/span>AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，從而BB1⊥AE.

又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，.

取BB1的中點(diǎn)M和B1C的中點(diǎn)N，連接A1M，A1N，NE.

因?yàn)?/span>N和E分別為B1C和BC的中點(diǎn)，所以NE∥B1B，NE＝B1B，

故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.

因?yàn)?/span>AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，從而∠A1B1N為直線A1B1與平面BCB1所成的角．

在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.

因?yàn)?/span>BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，

由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.

在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝4.

在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝，

因此∠A1B1N＝30°.

所以直線A1B1與平面BCB1所成的角為30°