Question

如圖，在四棱錐中，頂點在底面內的射影恰好落在的中點上，又，且

（1）求證：；
（2）若，求直線與所成角的余弦值；
（3）若平面與平面所成的角為，求的值。

Answer 1

（1）利用兩直線的方向向量垂直證明線線垂直；（2）；（3）．

試題分析：因為AB中點O為點P在平面ABCD內的射影，所以PO⊥底面ABCD．以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系o﹣xyz（如圖）．

（1）設BC=a，OP=h則依題意得：B（a，0，0），A（﹣a，0，0），P（0，0，h），C（a，a，0），D（﹣a，2a，0）．
∴=（2a，a，0），=（﹣a，2a，﹣h），
于是•=﹣2a²+2a²=0，∴PD⊥AC； 4分
（2）由PO=BC，得h=a，于是P（0，0，a），5分
∵=（2a， 0，0），=（﹣a，2a，﹣a），
∴•=﹣2a²，cos＜，＞==，
∴直線PD與AB所成的角的余弦值為； -8分
（3）設平面PAB的法向量為m，可得m=（0，1，0），
設平面PCD的法向量為n=（x，y，z），
由=（a，a，﹣h），=（﹣a，2a，﹣h），
∴，解得n=（1，2，），∴m•n=2，
cos＜m，n＞=，∵二面角為60°，∴=4，
解得=，即=．       12分
點評：運用向量在解決立體幾何問題主要集中在法向量的應用上，它可以證明空間線面的位置關系、求解空間角、距離.同時運用空間向量解答立體幾何問題，淡化了傳統立體幾何中的“形”的推理方法，強化了代數運算，從而降低了思維難度