Question

如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ)若點是的中點，求證：平面；
（II）試問點在線段上什么位置時，二面角的余弦值為.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；
（II）當點在線段的中點時，二面角的余弦值為.

試題分析：（Ⅰ）通過連接，應用三角形的中位線定理得到證明得到 面．
（II）利用空間直角坐標系，確定平面的一個法向量，而平面的法向量，得到，確定出點在線段的中點時，二面角的余弦值為.解答此類問題，要注意發現垂直關系，建立適當地直角坐標系，以簡化解題過程.
試題解析：（Ⅰ）證明：連接，設，連接，
由三角形的中位線定理可得：，
∵平面，平面，∴平面．
（II）建立如圖空間直角坐標系，

在中，斜邊,得，所以，.
設，得.
設平面的一個法向量，由得，
取，得.
而平面的法向量，所以由題意，即，
解得（舍去）或，所以，當點在線段的中點時，二面角的余弦值為.