Question

【題目】在四棱椎中，四邊形為菱形，，，，，，分別為，中點(diǎn)..

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）證明，得到平面，得到證明.

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算夾角得到答案.

（1）因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，且，所以是等邊三角形，

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?/span>，，所以，

又，，，所以，

又，，所以平面，所以，

又因?yàn)?/span>是菱形，，所以，又，

所以平面，所以.

（2）由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知，，，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則：，

據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則：，

據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，

，

平面與平面所成銳二面角的余弦值.