Question

【題目】某校開展“讀好書，好讀書”活動，要求本學期每人至少讀一本課外書，該校高一共有100名學生，他們本學期讀課外書的本數統計如圖所示． （Ⅰ）求高一學生讀課外書的人均本數；
（Ⅱ）從高一學生中任意選兩名學生，求他們讀課外書的本數恰好相等的概率；
（Ⅲ）從高一學生中任選兩名學生，用ζ表示這兩人讀課外書的本數之差的絕對值，求隨機變量ζ的分布列及數學期望E．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由圖知讀課外書1本、2本、3本的學生人數分別為10，50和40， ∴高一學生讀課外書的人均本數為：
=2.3．
（Ⅱ）從高一學生中任選兩名學生，他們讀課外書的本數恰好相等的概率為：
p= = ．
（Ⅲ）從高一學生中任選兩名學生，
記“這兩人中一人讀1本書，另一人讀2本書”為事件A，
“這兩人中一人讀2本書，另一人讀3本書”為事件B，
“這兩人中一人讀1本書，另一人讀3本書”為事件C，
從高一學生中任選兩名學生，用ζ表示這兩人讀課外書的本數之差的絕對值，
則ζ的可能取值為0，1，2，
P（ζ=1）= = ，
P（ζ=1）=P（A）+P（B）= + = ，
P（ζ=2）=P（C）= = ，
∴ζ的分布列為：

ζ	1	1	2
P

E（ζ）= =
【解析】（Ⅰ）由圖知讀課外書1本、2本、3本的學生人數分別為10，50和40，由此能求出高一學生讀課外書的人均本數．（Ⅱ）從高一學生中任選兩名學生，利用互斥事件概率加法公式能求出他們讀課外書的本數恰好相等的概率．（Ⅲ）從高一學生中任選兩名學生，用ζ表示這兩人讀課外書的本數之差的絕對值，則ζ的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ζ的分布列及數學期望Eζ．
【考點精析】掌握離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．