【題目】已知函數
．
（1）求曲線
與直線
垂直的切線方程；
（2）求
的單調遞減區間；
（3）若存在
，使函數
成立，求實數
的取值范圍．
【答案】（1）
；（2）減區間為
和
；（3）
.
【解析】
試題分析：（1）求出導數
，令
，求出切點坐標，可得切線方程；（2）令
解出
的單調遞減區間；（3）由已知得
，分離常數，存在
使函數
成立，使
即可，對
進行求導，利用導數判斷函數的單調性得到其最小值.
試題解析：（1）由已知
，·······2分
設切點坐標為
，令
，解得
，所以
，因此切線方程為
，即；·······4分
（2）函數
的定義域為
，
，由
，解得
或
，
所以函數
的單調遞減區間為和
．·······8分
（3）因為
，
由已知，若存在
使函數
成立，
則只需滿足當
時，
即可．·······9分
又
，
則
，·······10分
①若
，則
在
上恒成立，
所以
在
上單調遞增，
，
∴
，又∵
，∴
．·······13分
②若
，則
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以
在
上的最小值是
，·······15分
又∵
，而
，所以一定滿足條件，
綜上所述，
的取值范圍是
．·······16分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等差數列{an}滿足a3=7，a5+a7=26．{an}的前n項和為Sn ．
（1）求an及Sn；
（2）令bn=﹣ 
（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Tn ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：
（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；
（Ⅱ）已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40,50）內的人數；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：
（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；
（Ⅱ）已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40,50）內的人數；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動直線l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．
(1)求證：無論m為何值，直線l與圓C總相交．
(2)求直線l被圓C所截得的弦長的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
過定點
且與圓
相切，記動圓圓心
的軌跡為曲線
.
（1）求曲線
的方程；
（2）過點
且斜率不為零的直線交曲線
于
， 
兩點，在
軸上是否存在定點
，使得直線
的斜率之積為非零常數？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.
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