Question

【題目】已知橢圓C：（）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且.

（1）求橢圓C的方程；

（2）A，B是橢圓C上的兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線，的斜率之積為（以O為坐標(biāo)原點(diǎn)），M是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)N，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將代入橢圓方程，可得，再由，結(jié)合，解出，得到橢圓方程.
（2）設(shè)，，，,則得到，由在橢圓上，將坐標(biāo)代入橢圓方程，得到關(guān)于的方程，從而解出的值，得到答案.

（1）聯(lián)立，解得，故，又，

，聯(lián)立三式，解得，，.

故橢圓C的方程為.

（2）設(shè)，，，，

∵M是的中點(diǎn)，，，.

又，，即，

∵點(diǎn)在橢圓C上，，

即.（*）

∵，在橢圓C上，，①②

又直線，斜率之積為，，即，③

將①②③代入（*）得，解得

所以