Question

【題目】如圖，在底面為矩形的四棱錐中，，，且，其中分別是線段的中點。

（1）證明：平面

（2）證明：平面

（3）求：直線與平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】(1) 見證明；(2) 見證明；(3)

【解析】

1）在平面內找到一條直線與這條直線平行，再利用線面平行的判定定理說明線面平行。2）在平面內找到兩條相交直線與這條直線垂直，再利用線面垂直的判定定理說明線面垂直。3）線面所成角的正弦值，幾何法：過線上一點做平面的垂線段，垂線段與這點到線面交點線段的比值即為線面所成角的正弦值。

（1）證明：分別是線段的中點

在中，

又四邊形是矩形，

直線平面，直線平面，平面

（2）證明：（法一）向量法

以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系。

，

又因為，所以，平面

（法二）設，因為四邊形是矩形，

，

又因為

因為

所以，，

因為所以，

因為，所以，平面

（3）取中點，連接，連接

因為是中點，所以在中，

又因為，所以

所以，

又因為，

所以，