Question

【題目】已知圓：，點是直線：上的一動點，過點作圓M的切線、，切點為、．

（Ⅰ）當切線PA的長度為時，求點的坐標；

（Ⅱ）若的外接圓為圓，試問：當運動時，圓是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）求線段長度的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）AB有最小值

【解析】

試題（Ⅰ）求點的坐標，需列出兩個獨立條件,根據解方程組解：由點是直線：上的一動點，得，由切線PA的長度為得，解得（Ⅱ）設P（2b,b），先確定圓的方程：因為∠MAP＝90°，所以經過A、P、M三點的圓以MP為直徑，其方程為：，再按b整理：由解得或，所以圓過定點（Ⅲ）先確定直線方程，這可利用兩圓公共弦性質解得：由圓方程為及 圓：，相減消去x,y平方項得圓方程與圓相交弦AB所在直線方程為：，相交弦長即：

，當時，AB有最小值

試題解析：（Ⅰ）由題可知，圓M的半徑r＝2，設P（2b,b），

因為PA是圓M的一條切線，所以∠MAP＝90°,

所以MP＝，解得

所以4分

（Ⅱ）設P（2b，b），因為∠MAP＝90°，所以經過A、P、M三點的圓以MP為直徑，

其方程為：

即

由， 7分

解得或，所以圓過定點9分

（Ⅲ）因為圓方程為

即①

圓：，即②

②－①得圓方程與圓相交弦AB所在直線方程為：

11分

點M到直線AB的距離13分

相交弦長即：

當時，AB有最小值16分