Question

（本小題滿分12分）
設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②函數”
（I）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性質：若 的定義域為D，則對于任意成立。試用這一性質證明：方程只有一個實數根；
（III）對于M中的函數 的實數根，求證：對于定義域中任意的當且

Answer 1

（1）因為
所以
又因為當，所以方程有實數根0，
所以函數是集合M中的元素。                  …………4分
（2）假設方程存在兩個實數根，
則            …………5分
不妨設，根據題意存在數，
使得等式成立，                   …………7分
因為
與已知只有一個實數根；
…………9分
（3）不妨設為增函數，
所以
又因為為減函數，              …………10分
所以             …………11分
所以，
即
所以
…………12分

略