Question

【題目】已知點和直線，為曲線上一點，為點到直線的距離且滿足.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）過點作曲線的兩條動弦，若直線斜率之積為，試問直線是否一定經過一定點？若經過，求出該定點坐標；若不經過，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）設點為曲線上任一點，由列方程整理即可。

（2）先判斷直線斜率存在，設直線的方程為，設，聯立直線與橢圓方程，表示出，，由直線斜率之積為得到，化簡得到，求得，問題得解。

（1）設點為曲線上任一點，

則依題意得：，

化簡得：

曲線的軌跡方程為：.

（2）一定經過一定點.

設，當直線的斜率不存在時，設的方程為，

則：，

，不合題意.

故直線的斜率存在，

設直線的方程為，并代入橢圓方程，

整理得：，①

由

得：.②

設，則是方程①的兩根，由根與系數的關系得：

，，

由

得：，

即，

整理得：

又因為，所以，

此時直線的方程為.

所以直線恒過一定點.