Question

【題目】如圖，一個角形海灣AOB，∠AOB＝2θ（常數θ為銳角）．擬用長度為l（l為常數）的圍網圍成一個養殖區，有以下兩種方案可供選擇：

方案一 如圖1，圍成扇形養殖區OPQ，其中＝l；

方案二 如圖2，圍成三角形養殖區OCD，其中CD＝l；

（1）求方案一中養殖區的面積S1 ；

（2）求證：方案二中養殖區的最大面積S2＝ ；

（3）為使養殖區的面積最大，應選擇何種方案？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）為使養殖區面積最大，應選擇方案一．

【解析】分析：（1）設，利用弧長公式得，再利用扇形的面積公式，即可求解；

（2）設，由余弦定理和基本不等式得，再利用三角形的面積公式，即可證得；

（3）由（1）（2）得，令，求得，求得函數的單調性，得，得，作出相應的選擇．

詳解：解：（1）設OP＝r，則l＝r·2θ，即r＝，

所以 S1＝lr＝，θ∈(0，)．

(2)設OC＝a，OD＝b．由余弦定理，得l2＝a2＋b2－2abcos2θ，所以

l2≥2ab－2abcos2θ．

所以ab≤，當且僅當a＝b時“＝”成立．

所以S△OCD＝absin2θ≤＝，即S2＝．

(3)－＝ (tanθ－θ)，θ∈(0，)，．

令f(θ)＝tanθ－θ，則f (θ)＝()－1＝．

當θ∈(0，)時，f (θ)＞0，所以f(θ)在[0，)上單調增，所以，當θ∈(0，)，

總有f(θ)＞f(0)＝0．所以－＞0，得S1＞S2．

答：為使養殖區面積最大，應選擇方案一．(沒有作答扣一分)