Question

已知函數f（x）定義在區間（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），又數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+ a 2 n

，設b_n=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+…+

1

f(an)

．
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數；
（2）求f（a_n）的表達式；
（3）是否存在正整數m，使得對任意n∈N，都有b_n＜

m-8

4

成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）用賦值法：先x=y=0推f（0）=0，再令x=0推f（-y）=-f（y），即可證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數；
（2）先求出數列 {f（a_n）}的首項，再利用題中條件a_n+1=

2an

1+ a 2 n

以及f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）求出f（a_n）與f（a_n+1）之間的遞推關系，即可求 f（a_n）的表達式；
（3）先利用（2）的結論求出b_n的表達式，再代入b_n＜

m-8

4

利用函數的單調性求出最值即可求出m的最小值．

解答：解：（1）證明：令x=y=0，則f（0）=0，再令x=0，得f（0）-f（y）=f（-y），
∴f（-y）=-f（y），y∈（-1，1），
∴f（x）在（-1，1）上為奇函數．（3分）
（2）∵f(a1)=f(

1

2

)=-1，由(1)知f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(an+1)=f(

2an

1+ a 2 n

)=f(

an+an

1+an•an

)=f(an)+f(an)=2f(an)，
即

f(an+1)

f(an)

=2
∴{f（a_n）}是以-1為首項，2為公比的等比數列，
∴f（a_n）=-2^n-1．（7分）
（3）∵bn=-(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2+

1

2n-1

．
若bn＜

m-8

4

恒成立（n∈N₊），則-2+

1

2n-1

＜

m

4

-2，即m＞

4

2n-1

．
∵n∈N₊，∴當n=1時，

4

2n-1

有最大值4，故m＞4．
又∵m∈N，∴存在m=5，使得對任意n∈N₊，有bn＜

m-8

4

．（14分）

點評：本題是對數列與函數的綜合考查，涉及到函數的奇偶性以及函數的最值，和數列的遞推關系式的應用，是一道有難度的題．用賦值法來判斷函數的奇偶性在作抽象函數的奇偶性判斷時是很常用的．