Question

已知橢圓的兩焦點為F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），離心率e=

3

2

．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，有c=

3

，

c

a

=

3

2

求得a，b，最后寫出橢圓方程；
（2）由

y=x+m x2+4y2=4

，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得m值，從而解決問題．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則c=

3

，

c

a

=

3

2

，（4分）
∴a=2，b=1，所求橢圓方程

x2

4

+y2=1．（5分）
（2）由

y=x+m x2+4y2=4

，消去y，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，
則△＞0得m²＜5（*）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4(m2-1)

5

y₁-y₂=x₁-x₂，（8分）
|PQ|=

2[(- 8m 5 )2- 4(m2-1) 5 ]

=2
解得m=±

30

4

，滿足（*）
∴m=±

30

4

．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．解答的關鍵是利用方程思想利用設而不求的方法求出m值．