Question

已知橢圓的右焦點為F（2，0），M為橢圓的上頂點，O為坐標原點，且△MOF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=8，證明：直線AB過定點（）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，再根據a²=b²+c²可求得a；
（Ⅱ）分情況討論：（1）當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為：y=kx+m，聯立直線AB方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及k₁+k₂=8可得關于k，m的關系式，消m代入直線AB方程可求得定點坐標；（2）若直線AB的斜率不存在，設AB方程為x=x，由已知可求得AB方程，易驗證其過定點；
解答：（Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，a²=8，
故橢圓方程為：=1．
（Ⅱ）證明：（1）若直線AB的斜率存在，設AB的方程為：y=kx+m，依題意得m≠±2，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則．
由已知 k₁+k₂=8，可得 ，
所以，即．     
所以，整理得 ．
故直線AB的方程為，即y=k（）-2．
所以直線AB過定點（）．   
（2）若直線AB的斜率不存在，設AB方程為x=x，
設A（x，y），B（x，-y），
由已知，得．
此時AB方程為，顯然過點（）．
綜上，直線AB過定點（）．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓標準方程的求解，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力．