Question

【題目】已知橢圓的短軸長為4，離心率為，斜率不為0的直線與橢圓相交于，兩點（，異于橢圓的頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線是否過定點，如果過定點，求出該定點的坐標；如果不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點，.

【解析】

（1）根據橢圓的簡單幾何性質可知，，再結合即可求出；

（2）依題設直線：，，，聯立直線和橢圓方程求出，，再根據以為直徑的圓過橢圓的右頂點可得，代入化簡可得，求出，即可知直線過定點．

（1）由題可知，，而，解得．

所以橢圓的標準方程為.

（2）由題設直線：，，，，

聯立直線方程與橢圓方程得：，

，，，

因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，

所以，將，代入化簡可得，，解得或.

當時，直線與橢圓的一個交點為右頂點，與題意不符，舍去．

∴，即直線過定點.