Question

【題目】已知直線： 恒過定點，圓經過點和點，且圓心在直線上.

（1）求定點的坐標；

（2）求圓的方程；

（3）已知點為圓直徑的一個端點，若另一個端點為點，問：在軸上是否存在一點，使得為直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）直線過定點問題，應將直線： 的方程中含 的項合并，變為，解方程組即可求定點坐標；（2）方法一：設圓的一般方程為，其圓心為 ，由條件可得關于 三元方程組，解方程組可求解；方法二：設圓的方程為標準方程。（3）圓心C為 的中點，由中點坐標公式求點 的坐標。點M到圓心C距離大于半徑，所以點M在圓C外。故 或 為直角，兩鄰邊垂直，斜率乘積為-1，可求m的值。

試題解析：（1）由得， ，

令，得，即定點的坐標為.

（2）設圓的方程為，

由條件得，解得.

所以圓的方程為.

（3）圓的標準方程為， ，

設點關于圓心的對稱點為，則有，

解得， ，故點的坐標為.

因為在圓外，所以點不能作為直角三角形的頂點，

若點為直角三角形的頂點，則有， ，

若點是直角三角形的頂點，則有， ，

綜上， 或.

所以，

所以.