Question

【題目】已知函數.

（1）討論當時，函數的單調性；

（2）當對任意的恒成立，其中.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在為增函數（2）

【解析】

（1）將代入函數解析式，可求得函數解析式及，由的單調性及導函數與函數單調性關系即可判斷.

（2）由題意可知對任意的恒成立，求得，并構造函數，求得，可判斷在上的單調性，從而可得存在，使得，進而可得，由可得方程，代入中，可由求得的取值范圍.

（1）函數，

將代入，可得，則，.

當為單調遞增函數，，

所以在為增函數；

（2）由已知有，其中，.

.

令，其中，.

由得在上單調遞增.

又，當時，，

故存在，使得.

當時，，，在上單調遞減；

當時，，，在上單調遞增.

故.

由得，，即.

則.

令，由，，解得.

因為在上單調遞增，，所以.

故，即，解得.