Question

【題目】已知．

（Ⅰ）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若函數在區間上的最大值為，最小值為，令，求的解析式及其最小值（注：為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），1．

【解析】

（Ⅰ）由復合函數的單調性得函數在上單調遞增，則，解出即可；

（Ⅱ）由題意得，設，則，，再分類討論即可得到，再根據函數的單調性即可求出最小值．

解：（Ⅰ）∵函數在上單調遞增，

函數在上單調遞增，，

∴函數在上單調遞增，

∴，解得，

∴實數的取值范圍是；

（Ⅱ）∵，∴，設，

則，，

①當時，函數在上單調遞增，

∴最大值，最小值，

∴；

②當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

∴最大值，最小值，

∴；

③當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

∴最大值，最小值，

∴；

④當時，函數在上單調遞減，

∴最大值，最小值，

∴；

綜上，，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

當時，取最小值1．