Question

（2007•楊浦區二模）（理）設斜率為k₁的直線L交橢圓C：

x2

2

+y2=1于A、B兩點，點M為弦AB的中點，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標原點，假設k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述橢圓C一般化為

x2

a2

+

y2

b2

=1
（a＞b＞0），其它條件不變，試猜想k₁與k₂關系（不需要證明）．請你給出在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）中相類似的結論，并證明你的結論．
（3）分析（2）中的探究結果，并作出進一步概括，使上述結果都是你所概括命題的特例．
如果概括后的命題中的直線L過原點，P為概括后命題中曲線上一動點，借助直線L及動點P，請你提出一個有意義的數學問題，并予以解決．

Answer 1

分析：（1）設直線方程為y=k₁x+b，代入橢圓方程，根據方程的根與系數關系求弦中點M的坐標為(-

2bk1

1+2k12

，

2b

1+2k12

)，代入可得k2=-

1

2k1

，從而可求
（法二）（利用點差法）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點M（x₀，y₀），由

1

2

x12+y12=1與

1

2

x22+y22=1作差得 -

1

2

=

(y2-y1)(y2+y1)

(x2-x1)(x2+x1)

可求
（2）已知斜率為K₁的直線L交雙曲線

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）于A，B兩點，點M 為弦AB的中點，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標原點，假設K₁、k₂都存在）．
則k₁，k₂?的值為

b2

a2

（解一）設直線方程為y=k₁x+d，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1（（a＞0，b＞0）方程并整，根據方程的根與系數的關系代入可求k1k2=

b2

a2

（解二）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點中點M（x₀，y₀）由點A，B在雙曲線上，則利用點差法可求
（3）對（2）的概括：設斜率為k₁的直線L交二次曲線C：mx²+ny²=1（mn≠0）于A，B兩點，點M為弦AB的中點，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標原點，假設k₁，k₂、都存在），則k1k2=-

m

n

．

解答：（解一）：（1）設直線方程為y=k₁x+b，代入橢圓方程并整理得：（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，（2分）
x1+x2=-

4k1b

1+2k2

，又中點M在直線上，所以

y1+y2

2

=k1•

x1+x2

2

)+b
從而可得弦中點M的坐標為(-

2bk1

1+2k12

，

2b

1+2k12

)，k2=-

1

2k1

，所以k1k2=-

1

2

．（4分）
（解二）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點M（x₀，y₀） 則x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

K2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

，k1=

y2-y1

x2-x1

   （2分）
又

1

2

x12+y12=1與

1

2

x22+y22=1作差得  -

1

2

=

(y2-y1)(y2+y1)

(x2-x1)(x2+x1)

所以 K1K2=-

1

2

            （4分）
（2）對于橢圓，K1K2=-

b2

a2

  （6分）
已知斜率為K₁的直線L交雙曲線

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）于A，B兩點，點M 為弦AB的中點，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標原點，假設K₁、k₂都存在）．
則k₁，k₂?的值為

b2

a2

． （8分）
（解一）設直線方程為y=k₁x+d，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1（（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-（ad）²-（ab）²=0

1

2

(y1+y2)=

db2

b2-a2k12

，
所以K2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

=

b2

k1a2

，k1=

y2-y1

x2-x1

（2分），即k1k2=

b2

a2

     （10分）
（解二）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點中點M（x₀，y₀）
則x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，K2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

，k1=

y2-y1

x2-x1

（2分）
又因為點A，B在雙曲線上，則

x12

a2

-

y12

b2

=1與

x22

a2

-

y22

b2

=1作差得

a2

b2

=

(y2-y1)(y2+y1)

(x2-x1)(x2+x1)

=k₁k₂    即k1k2=

b2

a2

 （10分）
（3）對（2）的概括：設斜率為k₁的直線L交二次曲線C：mx²+ny²=1（mn≠0）于A，B兩點，點M為弦AB的中點，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標原點，假設k₁，k₂、都存在），則k1k2=-

m

n

．（12分）
提出問題與解決問題滿分分別為（3分），提出意義不大的問題不得分，解決問題的分值不得超過提出問題的分值．
提出的問題例如：直線L過原點，P為二次曲線線mx²+ny²=1（mn≠0）上一動點，設直線L交曲線于A，B兩點，當P異于A，B兩點時，如果直線PA，PB的斜率都存在，則它們斜率的積為與點P無關的定值．（15分）
解法1：設直線方程為y=kx，A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁）、（-x₁，-y₁），則y₁=kx₁
把y=kx代入mx²+ny²=1得（m+nk²）x²=1，
K_PA•K_PB=

(y0-y1)(y0+y1)

(x0-x1)(x0+x1)

=

y02-y12

x02-x12

，
所以K_PA•K_PB=

1-mx02 n - k2 m+nk2

x02- 1 m+nk2

=

m-m(m+nk2)x02

n(m+nk2)x02-n

=-

m

n

（18分）
提出的問題的例如：直線L：y=x，P為二次曲線mx²+ny²=1（mn≠0）上一動點，設直線L交曲線于A，B兩點．試問使∠APB=30°的點P是否存在？（13分）
問題例如：1）直線L過原點，P為二次曲線線mx²+ny²=1（mn≠0）上一動點，設直線L交曲線于A，B兩點，求PA+PB的值．
2）直線l過原點，P為二次曲線mx²+ny²=1（mn≠0）上一動點，設直線L交曲線于A，B兩點，求S_△PAB的最值．

點評：本題主要考查了直線與曲線的相交關系的應用，解題的關鍵是能夠由橢圓的性質歸納推理 到一般的曲線方程，及較強的邏輯推理的運算能力