Question

【題目】已知是橢圓上關于原點對稱的任意兩點，且點都不在 軸上.

（1）若，求證: 直線和的斜率之積為定值；

（2）若橢圓長軸長為，點在橢圓上，設是橢圓上異于點的任意兩點，且.問直線是否過一個定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直線恒定過點.

【解析】試題分析：（1）設，則， 將坐標帶入橢圓化簡即可；

（2）設直線，與橢圓聯立得，設，由,韋達定理代入得，直線恒定過點，當直線斜率，易得成立.

試題解析：

(1) 由題意設，則，所以有，又因為

,所以,(定值).

(2) 直線過點，理由如下: ① 當直線斜率，易得,

直線的方程為. 直線過點.②由已知，橢圓方程為，設直線，則，設，則,，

， ， 或 (舍去), 方程為，則直線恒定過點，

綜上所述，直線恒定過點.