Question

已知拋物線y²=4ax(0＜a＜1)的焦點為F，以A(a+4,0)為圓心，｜AF｜為半徑在x軸上方作半圓交拋物線于不同的兩點M和N，設(shè)P為線段MN的中點，

(Ⅰ)求｜MF｜+｜NF｜的值；

(Ⅱ)是否存在這樣的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差數(shù)列?如存在，求出a的值，

Answer 1

(1) 8    (2)不存在

解析:

(1)由已知得F(a,0),半圓為［x-(a+4)］²+y²=16(y≥0)，設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)，則｜MF｜+｜NF｜=x₁+x₂+2a=2(4-a)+2a=8

(2)若｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等成數(shù)列，則有2｜PF｜=｜MF｜+｜NF｜,另一方面，設(shè)M、P、N在拋物線的準線上的射影為M′、P′、N′，則在直角梯形M′MNN′中，P′P是中位線，又有2｜P′P｜=｜M′M｜+｜N′N｜=｜MF｜+｜FN｜,因而｜PF｜=｜P′P｜,∴P點應(yīng)在拋物線上，但P點是線段MN的中點，即P并不在拋物線上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差數(shù)列的a值.