Question

已知拋物線C₁：y²=4ax（a＞0），橢圓C以原點為中心，以拋物線C₁的焦點為右焦點，且長軸與短軸之比為

2

，過拋物線C₁的焦點F作傾斜角為

π

4

的直線l，交橢圓C于一點P（點P在x軸上方），交拋物線C₁于一點Q（點Q在x軸下方）．
（1）求點P和Q的坐標；
（2）將點Q沿直線l向上移動到點Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點，對稱軸是坐標軸的雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程，進而根據題意求得a和m，a和n的關系，進而根據橢圓方程與直線l聯立求得交點坐標．
（2）將Q點沿直線l向上移動到Q′點，使|QQ′|=4a，則可求出Q′點的坐標，設雙曲線方程，把P，Q′代入雙曲線方程，求得s和r，進而雙曲線方程可得．

解答：解：（1）由題意可知F（a，0），設橢圓方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）．
由

m

n

=

2

，m²-n²=a²，
解得m²=2a²，n²=a²，
∴橢圓方程為

x2

2a2

+

y2

a2

=1，直線l：y=x-a．
可求出P（

4

3

a，

1

3

a）．
y=x-a，
可求出Q（（3-2

2

）a，（2-2

2

）a．
（2）將Q點沿直線l向上移動到Q′點，
使|QQ′|=4a，則可求出Q′點的坐標為（3a，2a）．
設雙曲線方程為

x2

s

-

y2

r

=1（s•r＞0）．
由于P、Q′在雙曲線上，則有

(3a)2

s

-

(2a)2

r

=1，

( 4 3 a)2

s

-

( 1 3 a)2

r

=1．
解得

1

s

=

7

11a2

，

1

r

=

13

11a2

．
∴雙曲線方程為

7

11a2

x²-

13

11a2

y²=1．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生對圓錐曲線基本知識的綜合掌握．