Question

（2003•東城區二模）已知拋物線C₁：y²=4ax（a＞0），橢圓C以原點為中心，以拋物線C₁的焦點為右焦點，且長軸與短軸之比為

2

，過拋物線C₁的焦點F作傾斜角為

π

4

的直線l，交橢圓C于一點P（點P在x軸上方），交拋物線C₁于一點Q（點Q在x軸下方）．
（Ⅰ）求點P和Q的坐標；
（Ⅱ）將點Q沿直線l向上移動到點Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點，對稱軸是坐標軸的雙曲線的方程；
（Ⅲ）設點A（t，0）（常數t＞4），當a在閉區間〔1，2〕內變化時，求△APQ面積的最大值，并求相應a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知F（a，0），設橢圓方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1．（m＞n＞0）由

m n = 2 m2-n2=a2

解得m，n，用a表示，再利用聯立直線與橢圓及拋物線的方程即可得到交點；
（II）將Q點沿直線l向上移動到Q′’點，使|QQ′|=4a．則可求出Q′點的坐標為（3a，2a）．設雙曲線方程為

x2

s

-

y2

r

=1．(s•r＞0)，把P、Q′坐標代入雙曲線，解出即可．
（III）利用三角形的面積計算公式及其二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知F（a，0），設橢圓方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1．（m＞n＞0）
由

m n = 2 m2-n2=a2

解得

m2=2a2 n2=a2

∴橢圓方程為

x2

2a2

+

y2

a2

=1．
直線 l：y=x-a．由

y=x-a x2 2a2 + y2 a2 =1.

可求出 P(

4

3

a，

1

3

a)．
由

y=x-a y2=4ax

可求出Q((3-2

2

)a，(2-2

2

)a)．
（Ⅱ）將Q點沿直線l向上移動到Q′’點，使|QQ′|=4a．
則可求出Q′’點的坐標為（3a，2a）．
設雙曲線方程為

x2

s

-

y2

r

=1．(s•r＞0)
由于P、Q′在雙曲線上，則有

(3a)2 s - (2a)2 r =1 ( 4 3 a)2 s - ( 1 3 a)2 r =1.

解得

1 s = 7 11a2 ， 1 r = 13 11a2 ．

∴雙曲線方程為

7

11a2

x2-

13

11a2

y2=1．
（III）S_△AFQ=

1

2

|FA|(yP-yQ)=

1

2

(t-a)[

1

3

-(2-2

2

)]a=(

2

-

5

6

)(ta-a2)=(

2

-

5

6

)[-(a-

t

2

)2+

t2

4

]
由于1≤a≤2，當t＞4時，

t

2

＞2．
∴當a=2時，S最大值=(

2

-

5

6

)(2t-4)．

點評：熟練掌握圓錐曲線的標準方程及其性質、直線與圓錐曲線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、二次函數的單調性、三角形的面積計算公式等是解題的關鍵．