Question

【題目】已知圓，直線．

（1）當時，直線被圓截得的弦長為__________；

（2）若在圓上存在一點，在直線上存在一點，使得的中點恰為坐標原點，則實數的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】； .

【解析】

（1）由題可知，寫出圓的圓心和半徑以及時的直線方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再根據圓的弦長公式，求出直線被圓截得的弦長；

（2）設直線關于原點對稱的直線為，根據對稱的性質求出直線的方程，由直線與圓的位置關系，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離小于等于，進而可得出實數的取值范圍.

解：（1）圓，可知圓心為，半徑為，

當時，直線，

則圓心到直線的距離為：，

所以直線被圓截得的弦長為：；

（2）設直線關于原點對稱的直線為，

設直線上任意一點，則在直線上，

即，即直線的方程為：，

依題意，直線與圓有交點，

則，解得：或，

所以實數的取值范圍是：.

故答案為：；.