Question

【題目】已知橢圓的左，右焦點分別為，直線與橢圓相交于兩點；當直線經過橢圓的下頂點和右焦點時，的周長為，且與橢圓的另一個交點的橫坐標為

（1）求橢圓的方程；

（2）點為內一點，為坐標原點，滿足，若點恰好在圓上，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由橢圓的定義可知，焦點三角形的周長為，從而求出.寫出直線的方程，與橢圓方程聯立，根據交點橫坐標為，求出和，從而寫出橢圓的方程；

（2）設出P、Q兩點坐標，由可知點為的重心，根據重心坐標公式可將點用P、Q兩點坐標來表示.由點在圓O上，知點M的坐標滿足圓O的方程，得式.為直線l與橢圓的兩個交點，用韋達定理表示，將其代入方程，再利用求得的范圍，最終求出實數的取值范圍.

解：（1）由題意知.

，

直線的方程為

∵直線與橢圓的另一個交點的橫坐標為

解得或(舍去)

，

∴橢圓的方程為

（2）設

.

∴點為的重心，

∵點在圓上，

由得

，

代入方程，得

，

即

由得

解得.

或