Question

（本小題滿分12分）已知函數，
（Ⅰ） 若a =1，求函數的圖像在點處的切線方程；
（Ⅱ）求的單調區間；
（Ⅲ）如果當且時，恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，增區間為；
當時，增區間為，增區間為；
（Ⅲ）。

試題分析：由題，
（Ⅰ）當 a =1時，，，
函數的圖像在點處的切線方程為；
（Ⅱ）設
①當時，故增區間為；
若設設兩根分別為，
② 當時，，所以增區間為；
③當時，，所以增區間為，增區間為；
綜上，當時，增區間為；
當時，增區間為，增區間為；
（Ⅲ）可化為，設由（Ⅱ）可知：
①若有，由單調性，對，此時，，
同理，對，此時，，
所以符合題意；
②若有，可知則對，此時，，
不符合題意；
綜上，符合題意的。
點評：①我們要靈活應用導數的幾何意義求曲線的切線方程，尤其要注意切點這個特殊點，充分利用切點即在曲線方程上，又在切線方程上，切點處的導數等于切線的斜率這些條件列出方程組求解。②利用導數求函數的單調區間時，一定要先求函數的定義域。