Question

【題目】已知函數f(x)=2lnx-ax2,若α，β都屬于區間[1,4]，且β-α=1，f(α)=f(β),則實數a的取值范圍是________.

Answer 1

【答案】

【解析】

先求導，，利用函數的單調性，結合f(α)=f(β)，確定a>0;再利用β﹣α＝1，即 2lnα﹣2lnβ+a（α+β）＝0，可得2lnα﹣2ln（α+1）+a（2α+1）＝0，α∈[1，3]，設h（x）＝2lnx﹣2ln（x+1）+a（2x+1）,x∈[1，3]，確定h（x）在[1，3]上遞增，h（x）在[1，3]有零點，即可求實數a的取值范圍．

解：f′（x）＝ （x＞0）

當a≤0 時，f′（x）＞0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上遞增，則f（x）不可能有兩個相等的函數值．故a>0；

由題設f（α）＝f（β） 則 ＝

考慮到β﹣α＝1，即 2lnα﹣2lnβ+a（α+β）＝0

∴2lnα﹣2ln（α+1）+α（2 +1）＝0， ∈[1，3]

設h（x）＝2lnx﹣2ln（x+1）+α（2x+1）x∈[1，3]，a>0，

則h'（x）＝ 在 上恒成立，

∴h（x）在[1，3]上遞增，h（x）在[1，3]有零點，則

，∴ ，∴

故實數a的取值范圍是．