Question

【題目】2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產生活造成嚴重影響.在黨和政府強有力的抗疫領導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復工復產，減輕經濟下降對企業和民眾帶來的損失.為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元（）滿足（為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是2萬件.已知生產該產品的固定投入為8萬元，每生產一萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（此處每件產品年平均成本按元來計算）

（1）將2020年該產品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數；

（2）該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）；

（2）2018年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元.

【解析】

（1）根據題意時，，求出，進一步求出銷售價格，由利潤銷售額固定成本再投入成本促銷費，即可求解.

（2）由（1），利用基本不等式即可求解.

（1）由題意知，當時，（萬件），

則，解得，.

所以每件產品的銷售價格為（元），

2018年的利潤.

（2）當時，，

，當且僅當時等號成立.

，

當且僅當，即萬元時，（萬元）.

故該廠家2018年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元.